Aplicaciones analíticas y numéricas de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales a ciertos problemas de evolución sobre espacios curvos

Abstract

Esta tesis se constituye en base al abordaje de cuatro problemas físicos, cuyo eje común es la relatividad y la teoría de ecuaciones en derivadas parciales. El primer proyecto corresponde a una exploración numérica de una estabilización alternativa del modelo sigma. El segundo, es un estudio (principalmente) numérico sobre fluidos conformes en el contexto de una conocida dualidad entre gravedad e hidrodinámica. El tercer trabajo consiste en un estudio analítico de la formulación de valores iniciales para ciertas modificaciones no lineales del electromagnetismo. Por último, un proyecto central que gira en torno en a un problema astrofísico: el lanzamiento de jets. Se presenta aquí una implementación numérica novedosa de la electrodinámica force-free alrededor de un agujero negro de Kerr, que permite reproducir algunos resultados centrales del área como la generación de un flujo de Poynting colimado y la extracción de energía mediante una configuración estacionaria. La novedad de la implementación radica en tres elementos: 1) se utiliza una técnica "multi-block". 2) se usan como ecuaciones de evolución, aquellas derivadas de una hiperbolización co-variante del sistema. 3) se incorporan condiciones de contorno estables, que preservan los vínculos y representan apropiadamente la física del problema.

This thesis is built on the approach to four physical problems rooted on general relativity and on the theory of partial differential equations. The first project corresponds to a numerical exploration of an alternative stabilization of the sigma model. The second one, is a numerical study of conformal fluids in the context of the gravity/fluid duality. The third project deals analytically with the initial value formulation of nonlinear electrodynamics. Finally, a central project related to the problem of launching astrophysical jets. We present here a new numerical implementation of force-free electrodynamics around a Kerr black hole, which reproduce standard results regarding jet formation and energy extraction by means of a truly stationary electromagnetic configuration. The novelty of our approach is three-folded: 1) we use the “multi-block” technique. 2) we employ as evolution equations those arising from a covariant hyperbolization of the system. 3) we implement stable and constraint-preserving boundary conditions, which represents an outer region given by a uniform magnetic field aligned with the symmetry axis.