| dc.description | Estudamos a ergodicidade da seguinte classe de aut omatos celulares. O espa¸co con-
figuracional ´e = {0, 1, . . . ,m}Z . Cada elemento de ´e chamado uma configura¸c ao.
Cada configura¸c ao ´e uma sequ encia bi-infinita x = (. . . x−1, x0, x1 . . . ) , onde todos xi 2
{0, 1, . . . ,m} . Consideramos uma classe de operadores determin´ısticos D : ! ,
dependendo de um n´umero natural r (o raio de intera¸c ao) e uma fun¸c ao mon´otona
f : {0, 1, . . . ,m}2r+1 ! {0, 1, . . . ,m} assim: (Dx)i = f(xi−r, . . . , xi+r). Uma con-
figura¸c ao x ´e chamada uma ilha se o conjunto {i : xi > 0} ´e finito. D ´e chamado
conservativo se existe uma ilha x tal que para todo t natural a configura¸c ao Dtx
cont´em pelo menos uma componente igual a m . N´os dizemos que D eroda uma ilha
se existir um t natural, tal que Dtx = todos zeros . N´os chamamos D de erosivo se
todas as ilhas s ao erodadas por ele.
Tamb´em consideramos um operador aleat´orio S® que transforma cada componente
em m , independentemente das outras componentes. Foi provado por Toom que no caso
m = 1 as seguintes tr es condi¸c oes s ao equivalentes: (i) D ´e conservativo; (ii) D n ao ´e
erodente; (iii) S®D ´e erg´odico para todo ® 2 (0, 1) . N´os provamos que no caso m = 2
cada duas destas tr es condi¸c oes n ao s ao equivalentes. Nossas demonstra¸c oes usam nosso
principal exemplo, no qual r = 1 e
f(xi−1, xi, xi+1) =
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>><
>>>:
0, se xi−1 = 0; xi = xi+1 = 1,
1, se xi−1 = xi = 2; xi+1 = 1,
2, se xi−1 + xi = xi+1 = 2,
O n´umero inteiro mais pr´oximo de
(xi−1 + xi + xi+1)
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em todos os outros casos | |
