Orientador: Eduardo Cardoso de AbreuTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Neste trabalho, estudamos um volume finito de controle no espaço-tempo local, em um marco Lagrangiano-Euleriano com o objetivo de construir um esquema localmente conservativo que modele o delicado balanço não-linear entre as aproximações numéricas do fluxo hiperbólico e o termo fonte, em problemas de lei de balanço ligados ao caráter puramente hiperbólico da lei de conservação. Efetuamos a análise de estabilidade e de convergência do método para o caso linear da lei de conservação hiperbólica e de problemas de lei de balanço em espaços discretos convenientes. De fato, baseados nesta condição de estabilidade, nós substituímos a equação da lei de conservação escalar dada por uma aproximação de diferenças finitas que dependente dos parâmetros da malha, no espaço e no tempo, a fim construir uma sequência convergente para a única solução entrópica da lei de conservação escalar , pelo menos, para o caso em que a função de fluxo é do tipo convexo. Para o melhor de nosso conhecimento, este trabalho é o primeiro a estabelecer uma prova rigorosa para convergência para da única solução entrópica construída por tubos integrais em um procedimento Lagrangiano-Euleriano, para leis de conservação hiperbólicas em uma dimensão espacial com fluxo convexo. Ressaltamos a importância e a utilidade de identificar equações modificadas, no escopo das diferencias finitas, associada ao método Lagrangiano-Euleriano o qual usamos para dar uma explicação sobre a possibilidade de instabilidade na construção dos tubos integrais longos; tal construção tem sido chamado a atenção de muitos autores na literatura disponível. O esquema construido é livre de Riemann solvers, mas se soluções locais de Riemann estão disponíveis para um determinado problema, estes podem ser incorporados naturalmente no esquema. Um grande conjunto não-trivial, distinto e bem conhecido de experimentos numéricos tanto para problemas unidimensionais, como para problemas bidimensionais não-lineares estão disponíveis na literatura especializada, que inclui leis de conservação escalares hiperbólicas e sistemas escalares de leis de conservação hiperbólicas e de leis de balanço, são discutidos para ilustrar o desempenho do novo método, onde incluímos experimentos numéricos com fluxos convexo, não-convexo e funções de fluxo descontínuos. Os resultados numéricos são comparados com soluções exatas sempre que possível ou soluções aproximadas com malha fina em outros casosAbstract: In this work, we study a local space-time finite control volume in a Lagrangian-Eulerian framework in order to design a locally conservative scheme to account the delicate nonlinear balance between the numerical approximations of the hyperbolic flux and the source term for balance law problems linked to the purely hyperbolic character of conservation laws. We have performed stability and convergence analysis of the method for linear differential hyperbolic and balance law problems in convenient discrete spaces. Indeed, based on this stability condition, we replace the given scalar conservation law equation by a finite difference approximation depending on mesh parameters in space and in time in order construct a sequence that is convergent to the unique entropy solution to the scalar conservation law, at least for the case where flux function is of convex type. To the best of our knowledge, this work is the first to establish a rigorous convergence proof for the uniqueness of the entropy solution constructed integral tubes by a Lagrangian-Eulerian procedure for hyperbolic conservation laws in one-space dimension with convex flux. We also add some meaningful comments on the usefulness of identifying modified equations, which models the behavior of the analogue difference scheme associated to the Lagrangian-Eulerian method and use it to give a possible explanation on the possibility of instability in construction of long integral tubes; such construction has been called the attention of many authors in the available literature. The designed scheme is also free of Riemann solvers, but if local Riemann solutions are available for a particular problem it is natural to incorporate such feature into the scheme. Furthermore, by combining ideas of the new approach, we give a formal construction of a new algorithm for solving several nonlinear hyperbolic conservation laws in two space dimensions. A set of nontrivial and distinct well-known one-dimensional as well as two-dimensional numerical experiments for nonlinear problems available in the specialized literature - scalar and system - of hyperbolic conservation law and balance law types are discussed to illustrate the performance of the new method, including numerical experiments with convex, non-convex and discontinuous flux functions. The numerical results are compared with accurate approximate solutions or exact solutions whenever possibleDoutoradoMatematica AplicadaDoutor em Matemática AplicadaCAPES