Orientador: Edmundo Capelas de OliveiraDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: O cálculo fracionário, nomenclatura utilizada para cálculo de ordem não inteira, tem se mostrado importante e, em muitos casos, imprescindível na discussão de problemas advindos de diversas áreas da ciência, como na matemática, física, engenharia, economia e em muitos outros campos. Neste contexto, abordamos a integral fracionária e as derivadas fracionárias, segundo Caputo e segundo Riemann-Liouville. Dentre as funções relacionadas ao cálculo fracionário, uma das mais importantes é a função de Mittag-Leffler, surgindo naturalmente na solução de várias equações diferenciais fracionárias com coeficientes constantes. Tendo em vista a importância dessa função, a clássica função de Mittag-Leffler e algumas de suas várias generalizações são apresentadas neste trabalho. Na aplicação resolvemos a equação diferencial associada ao problema do oscilador harmônico fracionário, utilizando a transformada de Laplace e a derivada fracionária segundo CaputoAbstract: The fractional calculus, which is the nomenclature used to the non-integer order calculus, has important applications due to its direct involvement in problem resolution and discussion in many fields, such as mathematics, physics, engineering, economy, applied sciences and many others. In this sense, we studied the fractional integral and fractional derivates: one proposed by Caputo and the other by Riemann-Liouville. Among the fractional calculus's functions, one of most important is the Mittag-Leffler function. This function naturally occurs as the solution for fractional order differential equations with constant coeficients. Due to the importance of the Mittag-Leffler functions, various properties and generalizations are presented in this dissertation. We also presented an application in fractional calculus, in which we solved the differential equation associated the with fractional harmonic oscillator. To solve this fractional oscillator equation, we used the Laplace transform and Caputo fractional derivateMestradoMatematica AplicadaMestra em Matemática Aplicada