Orientador: Prof. Dr. Ryuichi FukuokaDissertação (mestrado)--Universidade Estadual de Maringá, Dep. de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área de Concentração: Geometria e Topologia, 2021Planos quase-hiperbólicos são semiplanos superiores abertos, com estrutura do grupo de Lie bidimensional não abeliano, munidos com uma norma invariante à esquerda F em cada espaço tangente. Neste trabalho vamos classificar os caminhos minimizantes em planos quase-hiperbólicos seguindo as ideias deI. A. Gribanova [9]. Iniciaremos esse trabalho apresentando algumas definições e resultados sobrea teoria da medida, equações diferenciais e análise convexa que serão utilizados no decorrer deste trabalho. Seguiremos estudando sistemas de controle e o Princípio do Máximo de Pontryagin (PMP). Para classificar os caminhos minimizantes em planos quase-hiperbólicos, utilizaremos um sistema de controle onde a função de custo é o comprimento de arco e o conjunto de controle é a esfera unitária. Comisso, o problema de encontrar os caminhos minimizantes desse espaço se torna um problemade tempo ótimo, e por meio do PMP, encontraremos os possíveis caminhos minimizantes. Análises mais aprofundadas determinarão os caminhos minimizantes. Terminaremos esse trabalho estudando um pouco a respeito dos caminhos minimizantes dos planos quase-hiperbólicos quando cada plano tangente está munido com uma norma assimétrica invariante à esquerda.