Monografia
O Teorema de Perron-Frobenius
Registro en:
Souza, Isis Costa de Paula e. O Teorema de Perron-Frobenius. 42 f. Monografia de Graduação - Curso de Licenciatura em Matemática. Universidade Federal do Tocantins, Arraias, 2022.
Autor
Souza, Isis Costa de Paula e.
Institución
Resumen
This work aimed to study the spectrum of a certain class of matrices. More specifically,
we present a detailed proof of the Perron-Frobenius theorem in the context of this class of
matrices, following the method developed by Weilandt. This is a research that has as its
methodology the bibliographic review. Perron’s theorem was stated and proved in 1907,
which guarantees the existence of a maximal eigenvalue and a strictly positive associated
eigenvector, for the class of square matrices with positive entries. In 1912, Frobenius
extended this result to the class of non-negative and irreducible matrices. The classical
form of the theorem is presented in three which state the existence of a maximal eigenvalue
r, the existence of an eigenvector v with all positive entries associated with r and the
influence of the variation of A on the variation of r. In addition to the developed theory
presenting interesting results, this theorem is very important in several applications in
areas such as economics, demography, physics, probability, among others. Este trabalho teve como objetivo estudar o espectro de uma determinada classe de matrizes.
Mais especificamente, apresentamos uma demonstração detalhada do teorema de Perron-
Frobenius no contexto desta classe de matrizes, seguindo o método desenvolvido por
Weilandt. Esta é uma pesquisa que tem como metodologia a revisão bibliográfica. O
teorema de Perron foi enunciado e demonstrado em 1907, o qual garante a existência de
autovalor maximal e autovetor associado estritamente positivo, para a classe das matrizes
quadradas com entradas positivas. Em 1912, Frobenius ampliou este resultado à classe das
matrizes não negativas e irredutíveis. A forma clássica do teorema é apresentada em três
partes, as quais afirmam a existência de um valor próprio maximal r, a existência de um
vetor próprio v com todas entradas positivas associado a r e a influência da variação das
entradas de A sobre a variação de r. Além da teoria desenvolvida apresentar resultados
interessantes, este teorema se faz muito importante em diversas aplicações em áreas tais
como economia, demografia, física, probabilidade, entre outras.