Dissertação
Métodos de elementos finitos híbridos estáveis e estabilizados para escoamentos miscíveis em meios porosos heterogêneos
Autor
Miranda, Gabriel Brandão de
Institución
Resumen
Miscible displacement in porous media is modeled mathematically by coupling the Darcy
problem with transport. These equations are strongly linked, especially in cases with
adverse mobility ratio. In addition to the nonlinearity and the strong coupling between the
equations, there are still numerical difficulties related to the predominance of convective
effects, heterogeneity of the porous media and the compatibility between approximation
spaces. In this context, we propose the study of stable and stabilized hybrid finite element
methods capable of overcoming the typical difficulties of this problem and, in some cases,
ensuring local mass conservation. The so-called stable methods are characterized by the
use of Raviart-Thomas approximation spaces, while the stabilized methods incorporate
residual terms into the formulation. In this way, we developed mixed hybrid methods
for the Darcy problem and for the transport problem, aiming to generate formulations
for the transport equation compatible with the formulations for the Darcy problem,
where the stable methods for Darcy are combined with the stable ones and the same
goes for stabilized methods. Therefore, to maintain this correspondence between the
formulations, the choice for Lagrange multipliers, in both approaches, is of the same
nature, associated with the trace of the scalar variable. The stable and stabilized methods
for the transport problem are combined with an upwind scheme, used to soften the effects
of the predominantly convective regime, and discretized in time by a second-order approach
based on the Crank-Nicolson method. In this context, the stable and stabilized methods
employing continuous and discontinuous multipliers are tested and validated, through
convergence studies, independently in order for the Darcy and transport problems and
in a coupled way for the Darcy-transport problem. In addition, scenarios are simulated
in homogeneous and heterogeneous environments assuming unitary and adverse mobility
ratios where the proposed methods demonstrate an ability to capture the viscous fingers
generation phenomena and fractal patterns generated by this type of approach, in addition
to presenting a reduction in the oscillatory effects from the dominant convection that is
inherent to these applications. O escoamento de fluidos miscíveis em meios porosos é modelado matematicamente pelo
acoplamento do problema de Darcy com o transporte. Essas equações apresentam uma
forte relação de dependência principalmente em casos com razão de mobilidade adversa.
Além da não-linearidade e do forte acoplamento entre as equações, há ainda dificuldades
numéricas relacionadas à predominância dos efeitos convectivos, heterogeneidade dos
meios porosos e compatibilidade dos espaços de aproximação. Neste sentido, propomos
o estudo de métodos de elementos finitos híbridos estáveis e estabilizados capazes de
superar as dificuldades típicas deste problema e, em alguns casos, assegurar a conservação
local de massa. Os métodos ditos estáveis são caracterizados pelo uso dos espaços de
aproximação de Raviart-Thomas, enquanto que os estabilizados incorporam resíduos de
mínimos quadrados à formulação. Dessa forma, desenvolvemos métodos mistos híbridos
para o problema de Darcy e para o problema do transporte, visando gerar formulações para
a equação do transporte compatíveis com as formulações para o problema de Darcy, onde
os métodos estáveis para Darcy são combinados aos estáveis para o transporte e o mesmo
ocorre para os métodos estabilizados. Portanto para manter esta correspondência entre as
formulações, a escolha para os multiplicadores de Lagrange, em ambas as abordagens, é de
mesma natureza, associada ao traço da variável escalar. Os métodos estáveis e estabilizados
para o problema do transporte são combinados a um esquema upwind, empregado para
suavizar os efeitos do regime predominantemente convectivo, e discretizados no tempo por
uma abordagem de segunda ordem baseada no método de Crank-Nicolson. Neste contexto,
os métodos estáveis e estabilizados empregando multiplicadores contínuos e descontínuos
são testados e validados, através de estudos de convergência, para o problema de Darcy e
do transporte separadamente e de forma acoplada para problema Darcy-transporte. Além
disso, diversos cenários são simulados em meios homogêneos e heterogêneos supondo razão
de mobilidade unitária e adversa onde os métodos propostos demonstram a capacidade
de capturar os fenômenos de geração de “dedos” e padrões fractais gerados por este tipo
de abordagem, além de apresentar uma redução dos efeitos oscilatórios provenientes da
convecção dominante que é inerente a essas aplicações.