In this dissertation, we aim to study the Gustavson normal form of a Hamiltonian system in the degenerate and non-degenerate cases and apply the cases in which a Hamiltonian function has one degree of freedom and starts with third or fourth order terms in the study of the stability of solutions of balance. To achieve our goal, we include a preliminary chapter where we provide the basic theory of Hamiltonian systems, transformations symplectics and generating functions, in addition to some basic concepts of the qualitative theory of ordinary differential equations. We approach the classical theory of the form Gustavson and Birkhoff normal in the non-degenerate cases where the matrix of the linearized system is diagonalizable and the pure imaginary eigenvalues, in addition In addition, we provide some recent results in the case of systems with a degree of of freedom in which the Hamiltonian function is represented as a series of powers starting with cubic or fourth-order terms. In both cases, the main technique is to obtain a symplectic transformation given by a generating function in order to simplify the structure of higher-order terms of the Hamiltonian function. In the end, we will use the normal forms to obtain some conditions for the stability of equilibrium solutions in the case of systems degenerates with one degree of freedom.Nessa dissertação, temos como propósito estudar a forma normal de Gustavson de um sistema Hamiltoniano nos casos degenerado e não degenerado e aplicar os casos em que função Hamiltoniana possui um grau de liberdade e inicia com termos de terceira ou quarta ordem no estudo da estabilidade de soluções de equilíbrio. Para atingir nosso objetivo, incluímos um capítulo de preliminares onde fornecemos a teoria básica dos sistemas Hamiltonianos, transformações simpléticas e funções geradoras, além de alguns conceitos básicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias. Abordamos a teoria clássica da forma normal de Gustavson e de Birkhoff nos casos não degenerados em que a matriz do sistema linearizado é diagonalizável e os autovalores imaginários puros, além disso, fornecemos alguns resultados recentes nos casos de sistemas com um grau de liberdade em que a função Hamiltoniana é representada como uma série de potências iniciando com termos cúbicos ou de quarta ordem. Em ambos os casos, a técnica principal consiste em obter uma transformação simplética dada por uma função geradora a fim de simplificar a estrutura dos termos de maior ordem da função Hamiltoniana. No final, usaremos as formas normais para obter algumas condições para a estabilidade de soluções de equilíbrio no caso de sistemas degenerados com um grau de liberdade.São Cristóvão