| dc.contributor | Cardoso, José Anderson Valença | |
| dc.creator | Silva, Lucas de Melo Pontes e | |
| dc.date | 2023-08-03T20:46:42Z | |
| dc.date | 2023-08-03T20:46:42Z | |
| dc.date | 2021-02-05 | |
| dc.date.accessioned | 2023-09-28T22:55:45Z | |
| dc.date.available | 2023-09-28T22:55:45Z | |
| dc.identifier | SILVA, Lucas de Melo Pontes e. Funções convexas e as transformadas de Legendre e Fenchel. 2021. 123 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2021. | |
| dc.identifier | https://ri.ufs.br/jspui/handle/riufs/18015 | |
| dc.identifier.uri | https://repositorioslatinoamericanos.uchile.cl/handle/2250/9080752 | |
| dc.description | The present work addresses the main elements of convex analysis in vector spaces of finite and infinite dimensions. In finite-dimension, it presents fundamental
concepts of norms, inner-product, and topology. Then, it defines convex sets and
explores their properties. It shows operations that preserve convexity, classic convex
sets, and the hyperplane separation theorem. Next, the work presents the convex
functions and their properties, from which we can highlight the continuity in open
subsets and the existence of the directional derivative. The theoretical framework
developed allows presenting the Legendre transform when the convex functions are
C
1 and the Fenchel transform for non-smooth convex functions. Among all applications of the Legendre transform, this work highlights the formulation of equations
of classical mechanics. A table with selected smooth convex functions and their
respective Legendre transform is shown. In infinite dimension, the work develops
topological concepts and properties of metric spaces, continuity, Bolzano-Weierstrass
theorem, Hilbert and Banach spaces, and Hahn-Banach theorem. Then, it defines
interior points, convex sets, and convex functions in Hilbert spaces, defining main
properties, especially the existence of the conjugate function in this space. Finally, it
shows an application of Jensen’s inequality to solve High School Olympic problems. | |
| dc.description | O presente trabalho aborda os principais elementos da analise convexa em espacos vetoriais de dimensoes finita e infinita. Em dimensao finita, introduz-se conceitos basicos sobre espa¸cos vetoriais e topologia de conjuntos para desenvolver a teoria dos conjuntos convexos. Entao define-se os conjuntos convexos e suas propriedades
apresentando exemplos de operacoes que preservam convexidade, conjuntos convexos classicos e o importante teorema da separacao por hiperplano. Em seguida, o trabalho apresenta as funcoes convexas e suas propriedades, das quais podemos
destacar a continuidade em subconjuntos abertos e a existencia da derivada direcional. O arcabouco teorico desenvolvido permite apresentar a transformada de Legendre para o caso de funcoes convexas de classe C1 e a transformada de Fenchel
para o caso de funcoes convexas nao suaves. Apresenta-se aplicacoes da transformada de Legendre, em especial, na formulacao de equaces da mecanica classica alem uma tabela com funcoes e transformadas. Em dimensao infinita, introduz-se
conceitos topologicos e propriedades de espa¸cos m´etricos, continuidade, Teorema de Bolzano-Weierstrass, espacos de Hilbert e Banach e o Teorema de Hahn-Banach. O trabalho segue definindo pontos interiores, conjuntos e funcoes convexas em espacos de Hilbert, definindo importantes propriedades, em especial, a existencia da conjugada nesse espaco. Por fim, apresenta-se aplicacao da desigualdade de Jensen para resolucao de problemas olımpicos do Ensino Medio. | |
| dc.description | São Cristóvão | |
| dc.format | application/pdf | |
| dc.language | por | |
| dc.publisher | Mestrado Profissional em Matemática | |
| dc.publisher | Universidade Federal de Sergipe (UFS) | |
| dc.subject | Funções convexas | |
| dc.subject | Funções de Legendre | |
| dc.subject | Espaços de Banach | |
| dc.subject | Espaço de Hilbert | |
| dc.subject | Análise convexa | |
| dc.subject | Conjuntos convexos | |
| dc.subject | Funções convexas | |
| dc.subject | Transformada de Legendre e Fenchel | |
| dc.subject | Espaços de Banach e Hilbert | |
| dc.subject | Convex analysis | |
| dc.subject | Convex sets | |
| dc.subject | Convex functions | |
| dc.subject | Legendre transform | |
| dc.subject | Fenchel tranform | |
| dc.subject | Banach and Hilbert spaces | |
| dc.subject | CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA | |
| dc.title | Funções convexas e as transformadas de Legendre e Fenchel | |
| dc.type | Dissertação | |
