Dissertação
Sistemas dinâmicos e caos
Registro en:
CABRAL, Bruno da Silva. Sistemas dinâmicos e caos. 2023. 67 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2023.
Autor
Cabral, Bruno da Silva
Institución
Resumen
It was through the historical development of astronomy that the Theory of Dynamical Systems, whose field of study is open and recent, emerged. In this work, we will understand this
emergence, learning about important concepts concerning the area. We consider dynamical
systems defined by successive applications of a function that maps an interval of real numbers to itself and we study the dynamics of some mathematical models. Among which we
can highlight simple examples of financial mathematics, which is a branch very close to our
reality, and the study of the tent function. We introduce the notion of equivalence between
dynamical systems defined by iteration of functions and, through this notion, we get to know
the dynamics of new systems. We also study asymptotic stability of a fixed point or periodic
point of a dynamical system. We present the topological definition of chaos and discuss
some essential features of this important concept. We analyze again the tent function and
present, through the binary expansion of real numbers in the interval [0, 1], a proof that
the dynamical system defined by this function and, consequently, any other equivalent to
it, is chaotic. Finally, we examine the "logistic population model" discussed by May( [6]),
highlighting some of its features. Foi por meio do desenvolvimento historico da astronomia que se surgiu a Teoria dos Sistemas Dinamicos, cuja area de estudo é aberta e recente. Nesse trabalho, entenderemos esse
surgimento, tomando conhecimento sobre conceitos importantes inerentes a essa área. Consideramos sistemas dinamicos definidos por aplicacoes sucessivas de uma funcao que aplica
um intervalo de numeros reais nele mesmo e estudamos a dinamica de alguns modelos matematicos. Dentre os quais podemos destacar exemplos simples de matematica financeira, que é um ramo muito proximo da nossa realidade, e o estudo da funcao tenda. Introduzimos
a nocao de equivalencia entre sistemas dinamicos definidos por iteracao de funcoes e, por meio dessa nocao, passamos a conhecer a dinamica de novos sistemas. Estudamos ainda estabilidade assintotica de um ponto fixo e de um ponto peri´odico de um sistema dinamico. Apresentamos a definicao topologica de caos e discutimos algumas caracterısticas essenciais desse importante conceito. Analisamos novamente a funcao tenda e apresentamos, por meio
da expansao binaria de numeros reais no intervalo [0, 1], uma prova que o sistema dinamico definido por essa funcao e, consequentemente, qualquer outro equivalente a ele, é caotico. Por fim, examinamos o “modelo de populacao logıstica” discutido por May( [6]), destacando algumas de suas caracterısticas. São Cristóvão