Tese Professor Titular
Sobre elementos distinguidos em corpos finitos
About distinguished elements in finite fields
Registro en:
Autor
Neumann, Victor Gonzalo Lopez
Institución
Resumen
In this thesis, we show some results about primitive normal elements and their generalizations. The thesis begins by studying the existence of primitive normal elements whose image by a rational function is primitive. The second result draws on a work of Cohen which studies consecutive primitive elements. In the thesis, we deal with arithmetic progressions, with a given common difference, such that all elements are primitive and one of them is normal. Next, we look for explicit formulas for the number of $k$-normal elements in extensions of finite fields. In particular, we find a formula that depends on the number of solutions of certain Diophantine equations. For k=0,1,2,3 we find combinatorial formulas that are easy to compute. We also study the existence of 2-normal primitive elements and finally we study r-primitive k-normal elements in general, and apply these results to the particular case where the field has characteristic 11, r=3 and k=3. FAPEMIG - Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais Nesta tese mostramos alguns resultados sobre elementos primitivos, elementos normais e suas generalizações. A tese começa estudando a existência de elementos primitivos normais cuja imagem por uma função racional seja primitiva. O segundo resultado se inspira em trabalhos de Cohen que estuda elementos primitivos consecutivos. Na tese tratamos de progressões aritméticas, com razão dada, nas quais todos os elementos são primitivos e um deles também é normal. A seguir procuramos fórmulas explícitas para o número de elementos k-normais em extensões de corpos finitos. Em particular, encontramos uma fórmula que depende do número de soluções de certas equações diofantinas. Já para k=0,1,2,3 encontramos fórmulas combinatórias fáceis de calcular. Também estudamos a existência de elementos primitivos 2-normais e finalmente estudamos elementos r-primitivos k-normais de forma geral e aplicamos os resultados para o caso particular em que o corpo é de característica 11, r=3 e k=3.
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