Review
Geometric Structures Generated by the Same Dynamics. Recent Results and Challenges
Estructuras Geométricas Generadas por la Misma Dinámica. Resultados y desafíos recientes
Registro en:
2073-8994
10.3390/sym14040661
0T4ON
WOS:000786947800001
Autor
Ayala, Victor
Da Silva, Adriano
Ayala, Jose
Institución
Resumen
The main contribution of this review is to show some relevant relationships between three geometric structures on a connected Lie group G, generated by the same dynamics. Namely, Linear Control Systems, Almost Riemannian Structures, and Degenerate Dynamical Systems. These notions are generated by two ordinary differential equations on G: linear and invariant vector fields. A linear vector field on G is determined by its flow, a 1-parameter group of Aut(G), the Lie group of G-automorphisms. An invariant vector field is just an element of the Lie algebra g of G. The Jouan Equivalence Theorem and the Pontryagin Maximum Principal are instrumental in this setup, allowing the extension of results from Lie groups to arbitrary manifolds for the same kind of structures which satisfy the Lie algebra finitude condition. For each structure, we present the first given examples; these examples generate the systems in the plane. Next, we introduce a general definition for these geometric structures on Euclidean spaces and G. We describe recent results of the theory. As an additional contribution, we conclude by formulating a list of open problems and challenges on these geometric structures. Since the involved dynamic comes from algebraic structures on Lie groups, symmetries are present throughout the paper. La principal contribución de esta revisión es mostrar algunas relaciones relevantes entre tres estructuras geométricas en un grupo de Lie G conectado, generado por la misma dinámica. A saber, sistemas de control lineal, estructuras casi riemannianas y sistemas dinámicos degenerados. Estas nociones son generadas por dos ecuaciones diferenciales ordinarias en G: campos vectoriales lineales e invariantes. Un campo vectorial lineal en G está determinado por su flujo, un grupo de 1 parámetro de Aut(G), el grupo de Lie de automorfismos G. Un campo vectorial invariante es solo un elemento del álgebra de Lie g de G. El teorema de equivalencia de Jouan y el principal máximo de Pontryagin son fundamentales en esta configuración, lo que permite la extensión de los resultados de los grupos de Lie a variedades arbitrarias para el mismo tipo de estructuras que satisfacen la condición de finitud del álgebra de Lie. Para cada estructura, presentamos los primeros ejemplos dados; estos ejemplos generan los sistemas en el plano. A continuación, presentamos una definición general para estas estructuras geométricas en espacios euclidianos y G. Describimos resultados recientes de la teoría. Como contribución adicional, concluimos formulando una lista de problemas y desafíos abiertos sobre estas estructuras geométricas. Dado que la dinámica involucrada proviene de estructuras algebraicas sobre grupos de Lie, las simetrías están presentes a lo largo del artículo.
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