Superficies cuárticas suaves invariantes por subgrupos primitivos finitos de PGL(4, C)

Abstract

En el Capítulo 1 estudiamos los anillos polinomiales y mostramos algunas de sus propiedades. En particular presentamos algunas propiedades de los polinomios e ideales homogéneos, y hacemos especial énfasis, por su posterior importancia, en el Teorema de los ceros de David Hilbert. ́Como las superficies cuarticas suaves que consideraremos en este trabajo son hipersuperficies suaves del espacio proyectivo complejo P3, entonces una estrategia para describir estas superficies es describir las hipersuperficies suaves en espacios proyectivos, esto es lo que hacemos en el Capítulo 2. En el capítulo 3 se presentan algunas herramientas prácticas para determinar cuándo una forma homogénea es singular. El objeto que determina la singularidad de una forma homogénea es su discriminante. Aquí describimos detalladamente la construcción de resultantes hecha por Macaulay, en particular nosotros usamos esta construcción para describir los discriminantes. Más particularmente, cuando el discriminante esta expresado bajo dos parámetros, es posible describirlo mediante eliminación con bases de Gróbner. En el anexo compartimos los algoritmos mencionados, junto a un par de ejemplos ilustrativos, implementados en Matemática. En el capítulo 4 se presentan todos los grupos de primitivos finitos de PGL(4, C), salvo conjugación, como están presentados en [ ́ Bli17, Chapter VII]. Para poder describirlos efectivamente damos una breve introducción a las presentaciones y representaciones de grupos finitos. Entre estos grupos resaltan el grupo alternante A5 y el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 7), los cuales están caracterizados como el primer y el segundo grupos simples no abelianos, respectivamente. También presentamos todas las representaciones fieles en PGL(4, C) de los grupos.....