Estimación de los índices de Morse de una variedad topológica a partir de una muestra iid de datos

Abstract

Este proyecto busca estimar los índices de Morse de una variedad topológica, dada una muestra iid de datos. Partiendo de la muestra de datos, mediante métodos estadísticos, se hallan los puntos que son aproximadamente ortogonales a un vector fijo. Con estos puntos cuasi-ortogonales, se propone un método de clustering para agruparlos. Para cada grupo, se encuentra un centroide y se estima su espacio tangente. Se propone una función de Morse para, de esta menera, poder encontrar la estimación de los índices de Morse. En este documento, en primer lugar, se habla sobre los conceptos de clustering que se usaron en el algoritmo computacional y definiciones y ejemplos de la teoría de Morse que fueron útiles. En segundo lugar, se explica cómo se estima el espacio tangente de la variedad en los centroides de cada cluster y la estimación de la función de Morse con sus errores, además de explicar un algoritmo de clustering. En tercer lugar, se muestran los resultados de los tres ejemplos computacionales que se consideraron: un círculo, una esfera y una hélice, además se adjuntan los códigos en R que se usaron. Por último, en la sección de apéndice se muestra técnicas para estimar la dimensión de la variedad que mejor representa a una muestra de datos, que es un paso que se da por conocido.