Trabajo de grado - Pregrado
Aplicación de los métodos iterativos de espacios de Krylov a la solución numérica de la ecuación de Poisson
Autor
López Hernández, Herlys Yulieth
Pacheco Zapata, Miguel Ángel
Institución
Resumen
En este trabajo de grado, presentaremos algunos métodos iterativos de espacios de Krylov. Estos métodos son de gran utilidad al buscar soluciones aproximadas para sistemas del tipo Ax=b, especialmente cuando hay una gran cantidad de ceros en la matriz. Aplicaremos estos métodos para obtener una aproximación numérica de la ecuación de Poisson, que será estudiada y planteada a lo largo de este trabajo.
En primer lugar, introduciremos algunos conceptos preliminares sobre los espacios de Krylov, explicando su origen y presentando métodos importantes derivados de este espacio. Posteriormente, plantearemos la ecuación de Poisson y la resolveremos utilizando el método de diferencias finitas, para así analizar su estabilidad, consistencia y convergencia.
Por último, aplicaremos esta ecuación en algunos campos de la física, donde utilizaremos los métodos de Krylov para encontrar soluciones eficientes, con esto, buscamos explorar y utilizar los métodos iterativos de los espacios de Krylov como herramientas efectivas en la resolución aproximada de sistemas con una matriz esparsa, centrándonos en la ecuación de Poisson y su aplicación en diversos contextos de la física. Declaración de autoría ................................ 5 Agradecimientos .........................................7 Resumen ............................................ 9 Abstract .................................................. 10 Índice de figuras ................................................. 13 Introducción .......................................................... 14 1. Preliminares ............................................................17 1.1. El método del gradiente conjugado (CG) ............................................. 17 1.1.1. El método de descenso más pronunciado y sus deficiencias ............. 20 1.1.2. Derivación heurística del algoritmo de gradiente conjugado ............................ 22 1.2. Espacios de Krylov......................................................... 25 1.2.1. El método de Arnoldi .............................................................. 26 1.2.2. Método del residuo mínimo generalizado (GMRES) ............................... 28 1.2.3. Lanczos simétrico ............................................. 30 1.2.4. The Minimal Residual Method (MINRES) .................................................... 32 1.3. Importancias de los métodos iterativos de Krylov ............................................ 33 2. Ecuación de Poisson .................................................... 36 2.1. Planteamiento del problema de Poisson ........................................ 36 2.1.1. Origen de la ecuación de Poisson ............................. 36 2.1.2. Ecuación de Poisson...............................................37 2.1.3. Condiciones de frontera ................................................ 38 2.1.4. Modelamiento de la ecuación .............................................. 39 2.2. Existencia y unicidad de las soluciones.............................................. 40 2.3. Método de diferencias finitas (MDF) ............................................ 43 2.3.1. Método de diferencias finitas en 2D ............................................ 44 2.3.2. Algoritmo para la solución numérica de la ecuación Poisson usando diferencias finitas ...................................................... 48 3. Análisis de la ecuación de Poisson y aplicaciones de los métodos de Krylov en su solución numérica .................................................................. 56 3.1. Análisis de convergencia, estabilidad y consistencia ................................... 56 3.2. Algunos campos de aplicación .......................................................72 3.2.1. Flujo de calor ..................................................... 72 3.2.2. Electrostática................................................. 75 3.2.3. Potencial eléctrico .................................................... 78 Conclusiones ..................................................... 82 Referencias .................................................... 83 Pregrado Matemático(a) Monografías