Demonstrações de Identidades Trigonométricas: uma abordagem através de representações geométricas e algébricas.

Abstract

O trabalho consiste em uma proposta para o ensino de Identidades Trigonométricas visando refletir sobre a possibilidade/oportunidade desse ocorrer usando mais de uma linguagem. Assim sendo, as demonstrações serão desenvolvidas utilizando tanto da linguagem geométrica quanto da algébrica (mais especificamente, da aritmética). A fim ainda de tornar as demonstrações das referidas identidades mais acessíveis, criamos um protocolo que permite o discente do Ensino Médio realizar tais construções geométricas, e ainda compreender etapas importantes das demonstrações, no intuito de tornar visível o processo dinâmico das construções realizadas. Vale aqui salientar, que utilizamos o Geogebra (software de geometria dinâmica) para construção das figuras. Buscamos alguns pressupostos para a pesquisa: na Teoria das Representações de Duval (1993), através da leitura do artigo da Damm (2012); quanto ao papel e funções das demonstrações, em Villers (2001); e quanto às diretrizes para o ensino da matemática, na BNCC (2018) e ainda em trabalhos escritos sobre o uso da geometria nas demonstrações. Apresentamos propostas de demonstrações usando procedimentos aritméticos e geométricos e ainda apresentamos um protocolo em tabela em cada demonstração. As demonstrações geométricas das Identidades Trigonométricas foram restritas ao primeiro quadrante do ciclo trigonométrico, podendo o mesmo raciocínio ser estendido aos demais. Acreditamos que tal pesquisa pode fornecer elementos importantes de reflexão que podem subsidiar o trabalho de professores de matemática quanto ao ensino do referido objeto de aprendizagem.

This study consists of a proposal for the teaching of Trigonometric Identities aiming to reflect about the possibility/opportunity of using more than one language. The demonstrations will be developed through the use of both the geometric and the algebraic languages (specially, arithmetic). In order to make the demonstrations more accessible, we have created a protocol that enables the high school teachers to use the geometric constructions and understand their important stages, in order to turn the dynamic process visible. It is important to highlight that we used Geogebra (Dynamic Geometry Software) to build the shapes. This research is based on Teoria das Representações de Duval (1993) in Damm’s article (2012); about the role and functions of the demonstrations, on Villers (2001); about the rules and guidelines in mathematic teaching, on BNCC (2018); and other papers about the use of geometry on demonstrations. We have presented proposals of demonstrations using arithmetic and geometric procedures as well as a chart with the protocol used in each demonstration. The geometric demonstrations of the Trigonometric Identities were only related to the first quadrant in the trigonometric circle; however, the same procedures may be applied to the other quadrants. We believe that this research may provide important elements of reflection that may help mathematic teachers when teaching the referred learning object.