Trabajo de grado - Pregrado
Estructura ca?tica y fractal del hamiltoniano de Henon-Heiles.
Registro en:
T 0702 104
CD3592
Autor
Murillo Florez, Didier Alexis
Institución
Resumen
72 P?ginas Recurso Electr?nico En el presente trabajo se realiz? un estudio sistem?tico de los sistemas din?micos continuos, puntualmente se estudi? un sistema Hamiltoniano con dos grados de libertad, llamado Hamiltoniano de Henon-Heiles, para este sistema se revisaron algunas propiedades, como la conservaci?n de la energ?a, la forma en coordenadas polares, las ecuaciones del movimiento, los puntos cr?ticos y su respectiva forma de clasificarlos. De una forma mas cualitativa se estudiaron sus propiedades ca?ticas. En Matlab usando una interfaz gr?fica se realizaron algunas simulaciones para mostrar mediante los diagramas de trayectorias y los mapas de Poincar? el comportamiento cuasi peri?dico y ca?tico del sistema en cuesti?n, tambi?n se tuvieron en cuenta los exponentes de Lyapunov para reforzar la idea de comportamiento ca?tico. En relaci?n con las propiedades ca?ticas se revisaron las caracter?sticas fractales del sistema para energ?as superiores a 16 .
El trabajo consta de cinco cap?tulos. En el primero, se realiza una breve introducci?n; en el segundo, se define los sistemas din?micos; en el tercero, se revisan las propiedades del Hamiltoniano de Henon-Heiles; en el siguiente cap?tulo se muestra el comportamiento ca?tico de dicho Hamiltoniano, y por ultimo en el cap?tulo cinco se encuentran las conclusiones del trabajo. 1. Introduccion 10
1.1. La Dinamica y los Sistemas Dinamicos . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Tecnicas Numericas y Dinamica no Lineal . . . . . . . . . . . 12
1.3. El Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Generalidades sobre Sistemas Dinamicos 15
2.1. Sistemas Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Sistemas No Autonomos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. Puntos Crticos y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Clasicacion de los Puntos Criticos . . . . . . . . . . . 22
2.3. Plano de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Retrato de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2. Calculo Numerico de los Retratos de Fase. . . . . . . . 32
2.3.3. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.4. Puntos Criticos y Linealizacion . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.5. Ciclos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1. Sistemas Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2. Sistemas Hamiltonianos con dos Grados de Libertad . . 37
2.5. Bifurcaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6.1. Mapas de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.2. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.3. Caos y Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Hamiltoniano de Henon-Heiles: Algunas Propiedades 46
3.1. Hamiltoniano de Henon-Heiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. H es Conservativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. H Reescrito en Coordenadas Polares. . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Ecuaciones del Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. Puntos Criticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1. Clasicacion de los Puntos Criticos . . . . . . . . . . . 54
4. Caos en el Hamiltoniano de Henon-Heiles 56
4.1. El Espacio de Fase y los Mapas de Poincare . . . . . . . . . . 56
4.2. Exponentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5. Conclusiones 68
Bibliografia 70