Projeto de controlador robusto LQR via desigualdades matriciais lineares

Abstract

Neste trabalho, é apresentada uma nova abordagem com restrição de taxa de decaimento para a resolução do problema do regulador linear quadrático (do inglês, Linear Quadratic Regulator – LQR) baseada em desigualdades matriciais lineares (do inglês, Linear Matrix Inequalities – LMIs) para sistemas lineares contínuos e invariantes no tempo (do inglês, Linear Time Invariant - LTI) sujeitos a incertezas politópicas no modelo. O projeto de controladores é baseado na realimentação de estados. Para a formulação desta nova abordagem foi utilizada uma função de Lyapunov dependente de parâmetros combinada com o Lema de Finsler, que permitiu o acréscimo de matrizes extras e redução do número de LMIs, encontrando resultados satisfatórios de factibilidade. A abordagem considera uma matriz Q e uma R para cada vértice do politopo 〖(Q〗_i,R_i), além de permitir priorizar o desempenho de cada vértice do conjunto de incertezas. Um conjunto de matrizes de ponderação para cada vértice permite melhorar o comportamento dinâmico do sistema incerto e/ou do sinal de controle. A partir dos controladores projetados e com o auxílio do software Matlab® /Simulink, foram feitas simulações para validar as condições propostas em dois exemplos numéricos, massa-mola-amortecedor e helicóptero 3-DOF, e uma implementação prática em um helicóptero 3-DOF (Degrees Of Freedom - Graus de liberdade) de bancada, produzido pela Quanser®.

In this work, a new approach with decay rate constraint is presented for the resolution of the quadratic linear regulator (LQR) problem based on linear matrix inequalities (LMIs) for continuous and linear time-invariant (LTI) systems subject to polytypic uncertainties in the model. The controller design is based on state feedback. To formulate this new approach, a parameter-dependent Lyapunov function combined with Finsler's Lemma was used, which allowed the addition of extra matrices and the reduction of the number of LMIs, finding satisfactory feasibility results. The approach considers a matrix 𝒬������ and ℛ for each vertex of the polytope (𝒬������𝑖������ , ℛ𝑖������), in addition to allowing prioritizing the performance of each vertex of the set of uncertainties. A set of weighting matrices for each vertex allows to improve the dynamic behavior of the uncertain system and/or the control signal. From the designed controllers, with the help of the Matlab® /Simulink software, simulations were carried out to validate the proposed conditions in two numerical examples, mass-spring-damper and 3-DOF helicopter, and a practical implementation in a benchtop 3-DOF (Degrees of Freedom) helicopter, produced by Quanser®.