Geometria Fractal: uma abordagem computacional

Abstract

Fractais são formas geométricas que apresentam padrões infinitamente complicados. Em uma primeira análise notamos que os fractais que estamos habituados possuem a caracteristica de serem auto-similares, ou seja, as partes são feitas de versões menores do todo. Visualmente é possível perceber este tipo de padrão, mas fazendo uso de conceitos da Topologia podemos formalizar a definição de um fractal. Funções contração são transformações em um espaço métrico com a propriedade de aproximar seus pontos quando aplicadas. Tais funções são a base do Teorema do ponto fixo de Banach, que nos permite encontrar conjuntos auto-similares a partir de um sistema de funções iteradas (ou SFI). Para construir contrações com propriedades interessantes, iremos nos restringir à R^2 e ao estudo das isometrias lineares devido seu forte significado geométrico no plano. A junção dos resultados topológicos com a forma matricial das funções contração fundamentou a criação de um código de computador capaz de gerar fractais com resolução tão boa quanto for necessário, implementar restrições e configurar parâmetros para uma exibição mais agradável. O código foi escrito na linguagem de alto nível e alta performance "Julia".