Teorema de la representación conforme de Riemann

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es estudiar diferentes temas relacionados con el Teorema de representación conforme de Riemann. Nos centraremos principalmente en dos resultados: El Teorema de representación de Riemann y el problema de Dirichlet para dominios simplemente conexos. Para el desarrollo de este trabajo es necesario tener conocimientos sobre el análisis complejo. Esto último en cuanto a la parte matemática ayuda a una mejor comprensión de ciertos conceptos y permite la relación entre ellos; ya que posee múltiples aplicaciones en la práctica, por ejemplo en la solución de problemas de flujo de calor, teoría potencial, mecánica de fluidos, teoría electromagnética, aerodinámica y muchas más. El Capítulo 1 contiene los preliminares, en donde se estudiará conceptos importantes, y se introduce la notación que haremos uso. Además se estudiará el Teorema de la aplicación abierta, un resultado de gran relevancia que nos garantiza que toda función holomorfa es abierta. A continuación estudiaremos las transformaciones conformes, transformaciones que serán protagonistas en la demostración del Teorema de representación de Riemann, y se darán algunos ejemplos sobre estas transformaciones. Por último se estudiará el principio del módulo máximo, que nos permite en el siguiente capítulo demostrar el Lema de Schwarz. En el capítulo 2 demostraremos el Lema de Schwarz, herramienta importante para la demostración del Teorema de representación de Riemann y que también nos permite obtener los automorfismos en el disco unidad.