Análisis numérico de problemas directos e inverso en dinámica de fluidos = Numerical analysis of forward and inverse fluid mechanics problems.

Abstract

Este trabajo de tesis aborda métodos de aproximación numérica para problemas de fluido incompresible, tales como las ecuaciones de Oseen, Darcy no lineal y Navier-Stokes. Nuestra principal contribución corresponde a la proposición y análisis de dos nuevos esquemas de elementos finitos para el cálculo de soluciones de problemas de fluidos, y la comparación del funcionamiento de otros dos métodos tradicionales usados para recuperar la presión de la sangre en movimiento en las arterias. En la Introducción damos a conocer el contexto de la tesis, comenzando con la motivación y objetivos de esta. También se describen el marco teórico, la relación del trabajo tesis con métodos actuales, y un breve resumen sobre esta. En el Capítulo 1 hemos abordado la ecuación de Oseen, desde el punto de vista de una ecuación de Navier-Stokes linealizada. Hemos aplicado el nuevo Método Mixto Multiescala Híbrido a la ecuación de Oseen, probando que su formulación débil corresponde a un problema bien puesto, tanto continua como discreta. En este capítulo la principal contribución corresponde a la aplicación método MHM a un operador no simétrico, introduciendo y analizando un nuevo estimador residual a posteriori, con la demostración que prueba su eficiencia y confiabilidad. Además, el método adaptativo ha sido evaluado por medio de experimentos numéricos. En el capítulo 2, mediante un cambio de variable, abordamos una ecuación de Darcy no lineal, cuya viscosidad depende de la presión, convirtiéndola en un problema lineal. Hemos propuesto un esquema estabilizado para el problema lineal, donde hemos realizado el análisis de error a priori y también propuesto un estimador residual a posteriori, probando su eficiencia y confiabilidad para el cálculo de soluciones. Se ha verificado que el problema este bien puesto usando la clásica estrategia del punto fijo. Las soluciones del problema de Darcy no lineal para la presión original son recuperadas mediante postproceso. Los ejemplos numéricos muestran la existencia de superconvergencia cuando el método propuesto es implementado, satisfaciendo los ´ordenes de convergencia que indica la teoría. Por último, se probó la utilidad del método estabilizado para un problema 3D. En el capítulo 3 hemos seleccionado algunos métodos usados para recuperar la presión, donde los más usados son el Pressure Poisson Equation (PPE) y el Stokes Equation (STE). Para el PPE hemos analizado los casos considerando el término viscoso y también en caso contrario. En ambos casos se realizó análisis de error a priori, obteniendo solo convergencia si se considera el término viscoso, siendo este de orden O(h 1/2 ). Para el STE, el análisis fue realizado usando los tradicionales espacios de Taylor-Hood y el método PSPG. A pesar de que ambos métodos de cálculo numérico nos permiten obtener el mismo orden de convergencia, es decir O(h), los ejemplos numéricos indican que existe diferencia entre ellos, permitiendo concluir que el método más costo-efectivo es el STE implementado con PSPG, incluso por sobre el PPE con término viscoso.