Investigaciones en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con aplicaciones a problemas fı́sicos

Abstract

En esta tesis consideramos el problema de valores iniciales para sistemas de ecuaciones cuasilineales de primer orden en derivadas parciales y que incluyen vínculos diferenciales. Estudiamos cuales son las condiciones que garantizan que estos sistemas tengan un conjunto de ecuaciones de evolución fuertemente hiperbólicas. Usando ciertas perturbaciones de los valores singulares del símbolo principal presentamos un mecanismo sencillo que permite identificar teorías débilmente hiperbólicas. En el caso de coeficientes constantes, mostramos condiciones necesarias y suficientes para garantizar la hiperbolicidad fuerte y explicamos como encontrar las ecuaciones de evolución fuertemente hiperbólicas. Como ejemplos de aplicación de estos resultados se presentan diversas teorías físicas, algunas de ellas son: la electrodinámica de Force Free en su versión de potenciales de Euler, los fluidos cargados con conductividad finita y las teorías electrodinámicas no lineales genéricas. Como casos particulares de las últimas estudiamos las teorías de Born-Infeld, Kaluza-Klein, Gauss-Bonnet y Euler-Heisenberg. Por último, fijadas las ecuaciones de evolución, comentamos sobre las condiciones necesarias para la conservación de los vínculos.

In this thesis, we consider the initial value problem for systems of first order quasi-linear partial differential equations including differential constraints. We study when these systems have a set of strongly hyperbolic evolution equations. Using certain perturbations of the singular values of the principal symbol, we present a simple technique to identify weakly hyperbolic theories. In the case of constant coefficient systems, we show necessary and sufficient conditions for strong hyperbolicity and explain how to find the strongly hyperbolic evolution equations. As application examples of these results, several physical theories are presented, such as: Force Free electrodynamics in the Euler potential version, charged fluids with finite conductivity and generic non-linear electrodynamic theories. As particular cases of the latter ones, we study the Born-Infeld, Kaluza-Klein, Gauss-Bonnet and Euler-Heisenberg theories. Finally, for any set of evolution equations, we comment on the necessary conditions for the constraint preservation.