Aspectos algebraico-geométricos de superficies racionales y un criterio para las superficies de Harbourne-Hirschowitz

Abstract

The aim of this work is to study the finiteness of the effective monoids and Cox rings of some anticanonical rational surfaces whose Picard numbers are very high and which are constructed as the blow-up of a Hirzebruch surface in different configurations of points that could be infinitely near. To do so, we have introduced the notions of Harbourne-Hirschowitz surface and anticanonical orthogonal property. Particularly, the Harbourne-Hirschowitz conjecture holds for a rational Harbourne-Hirschowitz surface. The finiteness of the effective monoid is studied through numerical conditions that ensure its finiteness, in addition, in some cases we present the minimal generating set explicitly and a decomposition for every effective class. The finiteness of the Cox rings is studied using a criterion that consists in verify if the anticanonical orthogonal property is satisfied. In addition, for those surfaces obtained as the blow-up of the projective plane P2 at most eight points in general position, we recover and extend the results of Roso about the minimal generating sets of their effective monoids, of Harbourne about the regularity of nef divisors on such surfaces, and of Batyrev and Popov about the niteness of their Cox rings.

El objetivo de este trabajo es estudiar la finitud de los monoides efectivos y de los anillos de Cox de algunas superficies racionales anticanónicas que tienen números de Picard muy grandes y que son construidas a partir de explosiones de una superficie de Hirzebruch en diferentes configuraciones de puntos que podrían ser infinitamente cercanos. Para realizar tal estudio, hemos introducido las nociones de superficie de Harbourne-Hirschowitz y de propiedad ortogonal anticanónica. De manera particular, la conjetura de Harbourne-Hirschowitz es verdadera para una superficie racional de Harbourne-Hirschowitz. La finitud del monoide efectivo se estudia a través de condiciones numéricas que aseguren su finitud, además, en algunos casos presentaremos explícitamente los conjuntos generadores mínimos para tales monoides y una descomposición para cada clase efectiva. La finitud de los anillos de Cox se estudia usando un criterio que consiste en verificar si se satisface la propiedad ortogonal anticanónica. Además, para las superficies obtenidas como la explosión del plano proyectivo P2 en a lo más ocho puntos en posición general, recuperaremos y extenderemos los resultados de Roso acerca de los conjuntos generadores mínimos de sus monoides efectivos, de Harbourne acerca de la regularidad de los divisores nef sobre tales superficies, y de Batyrev y Popov sobre la finitud de sus anillos de Cox.