masterThesis
Estabilização para um sistema acoplado tipo KdV-KdV
Autor
MEDEIROS, Hugo Deleon Pereira de
Institución
Resumen
O propósito deste trabalho é estudar a estabilização interna de um sistema de duas equações de Korteweg-de Vries (KdV) generalizada sobre o efeito de um termo de amor-tecimento localizado. Para isso, um breve histórico do surgimento e dedução da equação KdV é apresentada na introdução. A boa colocação para soluções do sistema são investigadas em três situações, no caso linear usamos a teoria de semi-grupo, no caso não-linear quando o expoente do termo não linear varia no intervalo [1; 2), localmente é utilizado argumentos de ponto fixo, e globalmente por meio de estimativas a priori, por último o caso não-linear quando o expoente do termo não linear varia no intervalo [2; 4), obtemos apenas a existência global para as soluções fracas utilizando argumentos de densidade. No que diz respeito a obtenção do decaimento exponencial, usamos técnicas multiplicativas combinadas com argumento de compacidade-unicidade e reduzimos o problema a provar uma propriedade de continuação única para as soluções fracas. Tal propriedade é obtida via estimativas de Carleman para o operador da KdV. The purpose of this work is to study the internal stabilization of a system of two Kortweg-de Vries (KdV) equations, generalized under the effect of a localized damping term. For this, a brief history of the emergence and deduction of the KdV equation is presented in the introduction. The well-posedness for solutions of the system are investigated in three situations, in the linear case we use the theory of semi-group, in the nonlinear case, when the exponent of the nonlinear term varies in the interval [1; 2), locally is used fixed point arguments and globally by a priori estimates, finally the nonlinear case, when the nonlinear term exponent varies in the interval [2; 4), we obtain only the global existence for the weak solutions using density arguments. To obtain the exponential decay, we use multiplicative techniques combined with compactness-uniqueness argument and reduce the problem to prove a unique continuation property for the weak solutions. This property is obtained via Carleman estimate for the KdV operator.