Neste trabalho, fazendo uso de ferramentas de Análise Funcional e de Topologia, nós investigamos propriedades de periodicidade assintótica para as soluções brandas de equações de ondas semilineares fortemente amortecidas. Ainda com relação as soluções brandas deste tipo de equação, nós estudamos propriedades de limitação em Lᵖ e a estruturara topológica do conjunto formado por estas soluções. Também obtemos resultados de existência de soluções clássicas e de soluções fortes e, por fim, complementamos os resultados teóricos com um conjunto de várias aplicações ilustrativas. Além deste estudo, consideramos também o modelo fracionário de Keller-Segel para a quimiotaxia de ordem α ∈ (0, 1). Tomando o dado inicial suficientemente pequeno na classe dos espaços de Besov-Morrey, nós provamos um resultados de existência e unicidade de solução global branda para este mesmo problema. Conseguimos também garantir a existência de soluções auto-similares e, para finalizar, mostramos um resultado sobre o comportamento assintótico das soluções do sistema fracionário de Keller-Segel.CNPqIn this work, using tools of Functional Analysis and Topology, we investigate properties of asymptotic periodicity for the mild solutions of strongly damped semilinear wave equations. Still in relation the mild solutions of this type of equation, we study properties of boundedness in the Lᵖ-spaces and the topological structure of set consisting by these solutions. We also obtain results of existence of classical solutions and existence of strong solutions, and finally, we complement the theoretical results with a set of very illustrating applications. Besides this study, we consider the time-fractional Keller-Segel model for chemotaxis of order α ∈ (0, 1). Taking into account the enough small initial data in a class of Besov-Morrey spaces, we prove a result of existence and uniqueness of global mild solution for this problem. We also ensure the existence of self-similar solutions, and lastly, we show an asymptotic behaviour result for the solutions of time-fractional Keller-Segel system.