Tesis
Teorema do passo da Montanha e soluções para Equação de Euler-Lagrange
Fecha
2022-09-30Registro en:
CAPPELLESSO, Felipe. Equações diferenciais do tipo neutro com retardo dependendo do estado e aplicações. 2022. 127 f., il. Dissertação (Mestrado em Matemática) — Universidade de Brasília, Brasília, 2022.
Autor
Cappellesso, Francisca Lemos
Institución
Resumen
O estudo realizado nesta dissertação está concentrado em trabalhar funcionais em espaços de Sobolev W
1,p
0
(Ω), p > 1, definidos por
J(u) = Z
Ω
I (x, u, ∇u) dx,
onde Ω é um subconjunto limitado e aberto em R
N . Sabe-se na literatura clássica que
pode-se obter pontos críticos destes funcionais, quando diferenciáveis, através da aplicação
do Teorema do Passo da Montanha Clássico. Entretanto, estudaremos a existência de
pontos críticos para funcionais J(u) que não são diferenciáveis. Assim, para contornar
o problema da não-diferenciabilidade provaremos uma versão modificada do Teorema do
Passo da Montanha publicada em um artigo de David Arcoya e Lucio Boccardo [3] o qual
demonstra a existência de pontos críticos não-negativos para este tipo de funcional.
Em seguida estudamos um funcional dado por
J(v) = 1
2
Z
Ω
[a(x) + |v|
γ
] |∇v|
2
dx −
1
p
Z
Ω
(v
+)
p
dx,
para N > 2 onde a(x) é uma função mensurável satisfazendo 0 < α ≤ a(x) ≤ β, em
quase todo ponto x ∈ Ω, ver [5]. Aqui estudaremos a existência de soluções positivas
da equação de Euler-Lagrange com termo quase-linear `a qual este funcional J(v) está
associado, quando γ > 1 e p > 1. Entretanto será necessário estudar previamente um
teorema auxiliar visto em [54] o qual nos permitirá extender o nosso resultado para L
∞(Ω).