O Teorema de Weierstrass sobre aproximação de funções contínuas por polinômicos

Abstract

O teorema de Weierstrass afirma que toda função real contínua definida em um intervalo [a,b] de R pode ser aproximada uniformemente em [a,b] por uma sequência de polinômios. Em outras palavras, dada uma função contínua f: [a,b] → R e r>0 qualquer, existe um polinômio p: R → R tal que |f(x)-p(x)|<r, para todo x em [a,b]; isto significa que, para r>0 tão pequeno quanto queiramos, o valor de f(x) pode ser calculado aproximadamente pelo valor de p(x) com erro menor do que r, independentemente de x em [a,b]. Como polinômios são funções simples que podem ser facilmente calculadas por computadores, este teorema tem tanto relevância teórica como prática. Para chegar à compreensão do enunciado deste teorema e de sua demonstração, é preciso estudar alguns conceitos matemáticos ligados a funções e sequências de funções. Existem diversas versões de demonstração deste teorema, algumas construtivas e outras mais teóricas. As construtivas permitem obter uma sequência concreta de polinômios que pode ser utilizada até mesmo na implementação de programas de computador para aproximação.