Sobre la p-parte del grupo de clases de ideales :una introducción a la teoría de Iwasawa

Abstract

El último teorema de Fermat es uno de los resultados más interesantes y complejos de la matemática. Este resultado fue conjeturado por Pierre de Fermat en el siglo XVII y fue demostrado por Andrew Wiles en 1995, más de 300 años después de ser enunciado. El objetivo de este proyecto es dar una introducción a una de las técnicas más importantes que se usaron en la prueba de este teorema. Esta técnica se conoce como Teoría de Iwasawa, la cual estudia ciertos objetos de interés aritmético a través de torres infinitas de extensiones de cuerpos. En este trabajo se va a mostrar cómo funciona la teoría, probando una fórmula de crecimiento de Iwasawa para el tamaño del p-subgrupo de Sylow de los grupos de clases de ideales en $\mathbb{Z}_p$-extensiones. Para esto, vamos a introducir algunos conceptos de teoría algebraica de números y vamos a motivar el estudio de nuestro objeto aritmético de interés

Fermat-s last theorem is one of most important results in mathematics. It was conjectured by Pierre de Fermat in the 17th century and it was finally proved over 300 years later by Andrew Wiles in 1995. The objective of this project is to give an introduction to one of the most important techniques used in the proof of this theorem. This technique is known as Iwasawa theory; it studies certain objects of arithmetic interest through infinite towers of field extensions. In this project we are going to show how the theory works by proving Iwasawa's growth formula for the size of the p-Sylow subgroup of ideal class groups in $\mathbb{Z}_p$-extensions. In order to do this, we are going to introduce some concepts of algebraic number theory and we are going to motivate the study of our arithmetic object of interest: the p-Sylow subgroup of ideal class groups of number fields