Los teoremas de Ratner para SL(2,R)

Abstract

Los teoremas de Ratner surgen del problema de clasificar las medidas sobre espacios homogéneos que son invariantes bajo la acción de un grupo Ad-unipotente. Resulta que estas acciones por grupos Ad-unipotentes como sistemas dinámicos tienen una estructura que está ligada a la estructura algebraica del espacio homogéneo dada por sus simetrías. En este trabajo se busca presentar una introducción a los teoremas de Ratner, estudiando específicamente el caso de SL(2,R). Para llegar a esto, se presenta una introducción a la teoría ergódica, y a la teoría de grupos de Lie. La presentación de este trabajo es la siguiente: El capítulo 1 es una introducción a la teoría ergódica. En este se discuten las nociones de transformaciones que preservan medida, transformaciones ergódicas y transformaciones mezclantes. Se presenta, así mismo, la generalización de estas nociones al estudio de acciones de grupos sobre espacios de medida. En el capítulo 2 se da una introducción a los grupos de Lie

Ratnerþs theorems arise from the problem of classifying measures on homogeneous spaces which are invariant under the action of an Ad-unipotent group. These actions by Ad-unipotent groups as dynamical systems have a structure which is connected to the underlying algebraic structure of the homogeneous space given by its symmetries. In this work an introduction to Ratnerþs theorems is given, specifically addressing the group SL(2,R). In order to do so, an introduction to ergodic theory and the theory of Lie groups is presented. The structure of this work is as follows: Chapter 1 is an introduction to ergodic theory. The notions of measure preserving transformations, ergodic transformations and mixing transformations are discussed in this chapter. A generalization of these notions to the study of arbitrary group actions on measure spaces is presented as well. In Chapter 2 an introduction to Lie groups is given. The exponential map of the Lie algebra