Propiedades de algunos sistemas de polinomios ortogonales Sobolev en varias variables

Abstract

En este trabajo estudiamos algunas propiedades algebraicas y analíticas de los polinomios ortogonales en varias variables reales con respecto a un producto interno Sobolev continuo-discreto. Consideramos los polinomios Sobolev sobre diferentes dominios, a saber: un dominio producto; la bola unitaria; el simplex; y el cono. Nuestros principales resultados consisten en un método iterativo de construcción de los polinomios ortogonales con respecto al producto interno, propiedades que involucran su parte principal (continua), una fórmula de conexión, y algunos resultados sobre ecuaciones diferenciales parciales. Con el fin de ilustrar nuestras principales ideas, al final de este trabajo presentamos varios ejemplos numéricos en dos variables. Además, discutimos algunos problemas abiertos.

In this work we study some algebraic and analytical properties of the orthogonal polynomials in several real variables with respect to a continuous-discrete Sobolev inner product. We consider the Sobolev polynomials on different domains, namely: a product domain; the unit ball; the simplex; and the cone. Our main results consist of an iterative method for constructing the orthogonal polynomials, properties that involve the main (continuous) part of this inner product, a connection formula, and some results on partial differential equations. In order to illustrate our main ideas, at the end of this work we present some numerical examples in two variables. In addition, we discuss some open problems.