Bifurcación y dependencia continua aplicados a la solución de problemas elípticos semilineales

Abstract

En el presente trabajo se estudiaran las soluciones de ecuaciones elípticas semilineales, donde hay un dominio acotado con frontera suave, un operador lineal y es una función no lineal. Este trabajo consta de dos capítulos. En el capítulo uno se demuestra, utilizando solamente técnicas de teoría de bifurcación, se plantea un problema que tiene al menos cuatro soluciones cuando el rango de la derivada de la no linealidad incluye los dos primeros valores propios. En la prueba de este resultado se usa, de mantera esencial los teoremas de bifurcación en el infinito y de bifurcación en un valor propio simple. A diferencia del teorema A de nuestro resultado no depende del acotamiento global de la derivada de la función no lineal. En el capitulo dos se presenta un método que permite construir soluciones radicalmente simétricas al problema. La utilidad de los cálculos es doble: primero, la construcción de ejemplos explícitos que apoyen o nieguen conjeturas y que sugieran direcciones para estudios futuros es siempre bienvenida puesto que las pruebas de existencia de soluciones radialmente simétricas de problemas elípticos no lineales, en general, no son constructivas. Segundo, es el estudio de ecuaciones elípticas con parte no lineal continua, pero lineal por tramos, tiene la posibilidad de ser empleado como una herramienta para obtener resultados generales para ecuaciones semilineales a través de aproximaciones polinomiales a las graficas de funciones Lipschitz arbitrarias. El método que se utiliza en la construcción de las soluciones esta basado en el conocido “método del disparo” (“shooting method”).