Minkowski space Bethe-Salpeter equation within Nakanishi representation

Abstract

The work presented in this thesis was dedicated in exploring bound-state solutions of the Bethe-Salpeter equation directly in the Minkowski space. For that, we consider a method that combines the Nakanishi integral representation for the Bethe-Salpeter amplitude, developed by Noboru Nakanishi in the sixties, together with the projection of the Bethe-Salpeter amplitude onto the null-plane, also known as the light-front projection. This approach, besides of allowing to compute the binding energies, which are accessible from the usual Euclidean calculation, enables to obtain the Bethe-Salpeter amplitude in the Minkowski space and the light-front wave function. The feasibility of such an approach is further verified by comparing the Bethe-Salpeter amplitude obtained directly in the Euclidean space with the corresponding amplitude obtained by solving the Bethe-Salpeter equation, using the Nakanishi integral representation, once the Wick rotation is performed to this latter. The success of the approach when applied to study the bound state problem of two-scalar particles exchanging another scalar particle in the ground state, as well as the corresponding study at the zero-energy limit, has encouraged us to extend this method to another interesting problems. In particular, we start by extending the method to study problems in (2+1) dimensions due to the increasing interest in the condensed-matter physics, like the study of Dirac electrons in graphene. In this initial examination we restrict to the scalar model, which enables us to access to the main difficulties that we will face when studying the fermion-fermion bound state problem. Hence, this calculation can be considered as the first step towards the implementation of the method to real fermionic problems. The previous calculations have been performed by considering the ladder approximation for the irreducible interacting kernel for s-wave states. Therefore, one of the extensions that is explored in this thesis is the effect of introducing the next contribution in the interacting kernel, known as the scalar-scalar cross-ladder contribution. The effects in the eigenvalues and the light-front wave functions are analyzed in detail, by considering the computed results. A particular interesting subject, extensively studied in this thesis, is concerned to the spectrum of the Bethe-Salpeter equation for the scalar-scalar bound-state problem. The spectrum of excited states obtained with the Nakanishi integral representation approach is compared with that obtained in the Euclidean calculation. Besides, the ratio energies excited/ground of the relativistic spectrum is reduced to the non-relativistic one by choosing small binding energies and the mass of the exchanged boson approaching to zero. The valence light-front wave function and the impact-parameter space valence wave function are displayed, revealing the main features of excited states known from the non-relativistic framework. In the analysis of the spectrum, we also studied the transverse-momentum amplitudes for the ground and first-excited state, which can be equivalently obtained in the Minkowski or Euclidean spaces. Finally, we focus on the study of electromagnetic elastic form factors within the Bethe-Salpeter approach. Aware that the correct calculation of form factors should be performed in the Minkowski space, the calculation of the elastic form factor is carried out with the standard impulse approximation and in addition the effect of the next contribution to the form factor is studied.

O trabalho apresentado nessa tese foi dedicado em explorar soluções de estado ligado para a equação de Bethe-Salpeter, obtidas diretamente no espaço de Minkowski. Para isso, consideramos um procedimento que combina a representação integral de Nakanishi para a amplitude Bethe-Salpeter, desenvolvido por N. Nakanishi na década de sessenta, em conjunto com a projeção da amplitude de Bethe-Salpeter no plano nulo, também conhecida como a projeção na frente de luz. Este método, além de permitir calcular as energias de ligação, que são acessíveis a partir de cálculos bem conhecidos no espaço Euclidiano, permite que se obtenha a amplitude Bethe-Salpeter no espaço de Minkowski e a função de onda de valência na frente de luz. A verificação da validade desse procedimento foi confirmada através de comparação da amplitude de Bethe-Salpeter obtida diretamente no espaço Euclidiano com a amplitude correspondente derivada da equação de Bethe-Salpeter, usando a representação integral de Nakanishi, uma vez a rotação de Wick é realizada. O sucesso dessa abordagem, quando aplicado ao problema do estado ligado de duas partículas escalares trocando uma outra partícula escalar no estado fundamental, assim como o estudo correspondente no limite de energia zero, nos motivou a ampliar a aplicação do procedimento para o estudo de outros problemas de interesse. Em particular, o método foi estendido para o estudo de sistemas com duas dimensões espaciais e uma temporal (2+1), considerando o interesse crescente que surgiu em Física da matéria condensada, onde podemos destacar o caso de elétrons de Dirac no grafeno. Nessa análise preliminar, nos restringimos ao modelo escalar que nos permitiu acessar as principais dificuldades que deverão ser enfrentadas ao estudar o problema do estado ligado entre dois férmions. Dessa forma, este tratamento pode ser considerado como um primeiro passo para a implementação de um método mais realístico em um problema fermiônico. Os cálculos anteriores que consideramos em nossos estudos foram realizados através da aproximação de escada para o kernel de interação irredutível para os estados de onda-s. Portanto, uma das extensões que exploramos nesta tese foi o efeito de se introduzir a contribuição de ordem seguinte no kernel de interação, conhecida como a contribuição de escada-cruzada (cross-ladder). Os efeitos nas energias de ligação e na função de onda na frente de luz é foram analisados de forma detalhada, através dos resultados apresentados. Um estudo particularmente interessante, que foi extensivamente estudado nesta tese, se refere ao problema do espectro da equação Bethe-Salpeter para o estado ligado escalar-escalar. O espectro de estados excitados foi obtido com a abordagem da representação integral Nakanishi, sendo comparado com o obtido no espaço Euclidiano. Além disso, as raçoes excitado/fundamental do espectro relativístico foram reduzidas para às não-relativístico através da escolha de energias de ligação pequenas e considerando a massa do bóson trocado sendo próxima de zero. A função de onda de valência na frente de luz e a função de onda no parâmetro de impacto são apresentadas mostrando as principais características dos estados excitados conhecidos da estrutura não relativística. Na análise do espectro, também são estudadas as amplitudes de momentum-transverso para o estado fundamental e o primeiro estado excitado, que podem ser obtidos, de forma equivalente, no espaço de Minkowski assim como no espaço Euclidiano. Finalmente, focamos o estudo nos fatores de forma eletromagnéticos elásticos na abordagem da Bethe-Salpeter. Consciente de que o cálculo correto dos fatores de forma deve ser feito no espaço de Minkowski, o fator de forma elástico foi calculado levando-se em consideração a aproximação de impulso padrão. Além disso, foi também estudado o efeito da contribuição de ordem superior no fator de forma.