Número Irracionais e transcendentes

Abstract

Irrational and transcendental numbers intrigued mathematicians since the beginning of mathematical development. Proving the irrationality or transcendence of a number can be a subject very complicated, however this is a task which have been fascinated many mathematicians. In this work we present some historical information and properties of irrational, algebraic and transcendental numbers. The main part of this work are the proofs of irrationality and transcendence of the numbers e and π. We have noticed these two numbers are known by students in high school, but they are never shown as transcendental numbers. We believe that it is possible to present the notion of transcendental and algebraic numbers for the students, at least superficially. For instance, it is possible to explore the notions of infinite, cardinality, among others and also the rich history of these kind of numbers.

Números irracionais e transcendentes intrigam matemáticos desde os primórdios do desenvolvimento matemático. Demonstrar a irracionalidade ou transcendência de um número pode ser uma tarefa extremamente complicada e técnica, mas carrega consigo uma beleza ímpar que fascina muitos matemáticos. No decorrer da história, a demonstração da irracionalidade ou transcendência de alguns números ajudou, por exemplo, na solução de importantes problemas matemáticos, alguns deles propostos desde a Grécia antiga. Mas, apesar de todo o fascínio e importância dessas classes de números, eles quase não são abordados durante os Ensinos Fundamental e Médio. No entanto, acreditamos que tais classes podem ser, mesmo que superficialmente, tratadas com os alunos no sentido de despertar neles a curiosidade e o gosto pela matemática. Muitos conceitos (como o de infinito, cardinalidade, entre outros) e a própria história podem ser usados neste intuito. Assim, a proposta de nosso trabalho é, inicialmente, mostrar a evolução dos conjuntos numéricos apresentando também fatos históricos relacionados a alguns números ou classes de números. Na segunda parte do trabalho, aprofundamos nosso estudo sobre números algébricos e transcendentes. Apresentamos na parte final uma prova da irracionalidade e transcendência dos números e e π.