Comportamento assintótico dos polinômios ortogonais de Sobolev-Jacobi e Sobolev-Laguerre

Abstract

Sejam Sn(x); n ¸ 0; os polinômios de Sobolev, ortogonais com relação ao produto interno hf; giS = ZR f(x)g(x)dÃ0(x) + ¸ ZR f0(x)g0(x)dÃ1(x); ¸ > 0; onde fdÃ0; dÃ1g forma um par coerente de medidas relacionadas às medidas de Jacobi ou de Laguerre. Denotemos por PÃ0 n (x) e PÃ1 n (x); n ¸ 0; os polinômios ortogonais com respeito a dÃ0 e dÃ1; respectivamente. Neste trabalho, estudamos o comportamento assintótico, quando n ! 1; das razões entre os polinômios de Sobolev, Sn(x); e os polinômios ortogonais PÃ0 n (x) e PÃ1 n (x); além do comportamento limite da razão entre esses dois últimos polinômios. Propriedades assintóticas para os coeficientes da relação de recorrência satisfeita pelos polinômios de Sobolev também foram estudadas.

Let Sn(x); n ¸ 0; be the Sobolev polynomials, orthogonal with respect to the inner product hf; giS = ZR f(x)g(x)dÃ0(x) + ¸ ZR f0(x)g0(x)dÃ1(x); ¸ > 0; where fdÃ0; dÃ1g forms a coherent pair of measures related to the Jacobi measure or Laguerre measure. Let PÃ0 n (x) and PÃ1 n (x); n ¸ 0; denote the orthogonal polynomials with respect to dÃ0 and dÃ1; respectively. In this work we study the asymptotic behaviour, as n ! 1; of the ratio between the Sobolev polynomials, Sn(x); and the ortogonal polynomials PÃ0 n (x) and PÃ1 n (x); as well as the limit behaviour of the ratio between the last two polynomials. Furthermore, we also give asymptotic results for the coefficients of the recurrence relation satisfied by the Sobolev polynomials.