Análisis teórico y numérico de un problema inverso de recuperación de fuente y atenuación para la ecuación de transferencia radiativa con aplicaciones a tomografía SPECT

Abstract

En este trabajo buscamos obtener imágenes de las distribuciones internas de fuentes radioactivas y mapa de atenuación para el procedimiento médico usado en tomografía SPECT, usando mediciones balísticas y de primer orden de scattering. Con este objetivo, modelamos matemáticamente el problema tridimensionalmente utilizando la ecuación de transferencia radiativa, logrando explicitar el operador no-lineal que entrega las mediciones en función de la distribución de fuentes radioactivas y mapa de atenuación. Derivando direccionalmente el operador no-lineal, obtuvimos un operador lineal que define el problema inverso linealizado. Bajo hipótesis de regularidad sobre la distribución de fuentes radioactivas y mapa de atenuación y, considerando baja atenuación, se demostró rigurosamente que el operador lineal es invertible y se calculó explícitamente su inversa. La demostración de la invertibilidad del operador linealizado consta de varias etapas. En una primera etapa se descompone el operador en una parte $L$ invertible y una perturbación $Q$ que sea pequeña para pequeñas atenuaciones en el espacio funcional adecuado. En una segunda etapa, se estudian las propiedades de regularidad de $L$ y $Q$ mediante métodos que incluyen estimaciones sobre la inversa de la transformada de Radon atenuada y de la transformada de Radon con pesos como operadores integrales en espacios de Sobolev con exponente fraccionario. Finalmente se concluye la invertibilidad de $L+Q$ acotando la norma de $L^{-1}Q$ y usando series de Neumann. Usando el resultado previo de inversión para el operador lineal, se plantearon en este trabajo nuevos tipos de algoritmos iterativos de recuperación de fuentes y atenuación para la tomografía SPECT. Estos algoritmos incluyen un algoritmo para el problema inverso linealizado usando series de Neumann, un algoritmo para el problema inverso no-lineal usando el método de Newton-Raphson y un algoritmo heurístico para el no-lineal el cual fue implementado numéricamente. El análisis teórico del problema linealizado provisto por este estudio representa un paso previo fundamental para el estudio de la convergencia de los algoritmos numéricos antes propuestos. Al comparar el algoritmo heurístico implementado en este trabajo con la metodología tradicional de SPECT, tanto en experimentos con datos reales como sintéticos, se observa una mejora en la recuperación de fuentes, además de contar con la reconstrucción adicional del mapa de atenuación del medio.