Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Maria Tereza Martinez-Seara AlonsoTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Considere um sistema planar de Filippov Z=(X,Y), onde X e Y são campos vetoriais suaves definidos em uma vizinhança da origem e cuja curva de descontinuidade é dada pelo conjunto de zeros da função f(x,y)=y. Neste trabalho apresentamos um estudo rigoroso das singularidades do tipo dobra-dobra de um sistema planar de Filippov. Mostramos que, sob algumas condições genéricas, o conjunto dos sistemas de Filippov que possuem uma singularidade dobra-dobra na origem é uma subvariedade mergulhada de codimensão um dentro do conjunto formado por todos os sistemas planares de Filippov definidos em torno da origem. Além disso, mostramos que para Z=(X,Y) pertencente à esta subvariedade todos os seus desdobramentos são equivalentes. Consideramos também sistemas suaves por partes Z=(X,Y) satisfazendo Z(x,y)=X(x,y) se xy> 0 e Z(x,y)=Y(x,y) se xy< 0. Neste caso, a descontinuidade do sistema é dada pelos zeros da função f(x,y)=xy. Para sistemas deste tipo, apresentamos uma classificação das singularidades de codimensão zero (estruturalmente estáveis) e das singularidades genéricas de codimensão um. Além disso, apresentamos os diagramas de bifurcação de cada singularidade de codimensão um e mostramos que esses desdobramentos são desdobramentos versais para estes sistemas. Na sequência, estudamos a regularização Teixeira-Sotomayor de sistemas de Filippov que possuem uma singularidade dobra-dobra e cuja regularização tenha um ponto crítico próximo da origem. Neste contexto, estudamos a natureza do ponto crítico existente para o sistema regularizado e quando o mesmo apresenta uma bifurcação, estudamos a relação entre a bifurcação que ocorre para o sistema suave por partes e para o sistema regularizadoAbstract: Consider a planar Filippov system Z=(X,Y), where X and Y are smooth vector fields defined in a neighborhood of the origin and whose discontinuity curve is given by the set of zeros of f(x,y)=y. In this work we present a rigorous study of the fold-fold singularities of a planar Filippov system. We show that, under some generic assumptions, the set of the planar Filippov systems having a fold-fold singularity at the origin is an embedded codimension one submanifold contained in the set of all planar Filippov systems. In addition, we show that all the unfoldings of Z=(X,Y) belonging to this submanifold are equivalent. We also consider piecewise smooth systems of the kind Z=(X,Y) satisfying Z(x,y)=X(x,y) if xy> 0 and Z(x,y)=Y(x,y) if xy<0 . In this case, the discontinuity set is the set of zeros of f(x,y)=xy. For these systems, we present a classification of structurally stable and generic codimension one singularities. In addition, we present the bifurcation diagram of each codimension one singularity and we show that they are, in fact, universal unfoldings. In the sequel we study the Teixeira-Sotomayor regularization of planar Filippov systems having a fold-fold singularity and whose regularization has a critical point around the origin. In this context, we study the nature of this critical point and when the critical point presents a bifurcation, we study the relations between the bifurcation for the planar Filippov system and for the regularized systemDoutoradoMatematicaDoutora em Matemática2011/22529-8FAPESP