Orientador: Edmundo Capelas de OliveiraTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Apresentamos operadores de integração e derivação fracionárias, que em particular, podem ser utilizados para descrever um processo difusivo anômalo através de uma equação diferencial fracionária. Como aplicação, discutimos uma equação diferencial fracionária associada ao processo de desaceleração de nêutrons, utilizando as transformadas integrais de Laplace e Fourier e através de uma conveniente implementação computacional, obtemos gráficos associados à solução dessa equação. Algumas propriedades dos operadores de integração e derivação fracionárias são mencionadas e utilizadas para escrever o teorema fundamental do cálculo fracionário. A clássica função de Mittag-Leffler, envolvendo um parâmetro e a função de Mittag-Leffler com dois parâmetros desempenham um papel importante no estudo das equações diferenciais fracionárias. A chamada função de Mittag-Leffler com três parâmetros, que generaliza as duas anteriores, emerge naturalmente no estudo da equação diferencial fracionária associada ao problema do telégrafo. Novas representações para as funções de Mittag-Leffler foram obtidas em termos de integrais impróprias de funções trigonométricas, a partir do cálculo da transformada de Laplace inversa sem usar um contorno de integração e como aplicação, encontramos algumas integrais impróprias interessantes que, geralmente, são demonstradas por aproximação com o uso de análise de Fourier ou teoria dos resíduosAbstract: We present the operators of fractional integration and differentiation, which can be used to describe an anomalous diffusion process by means of a fractional differential equation. As an application we discuss a fractional differential equation associated with the slowing-down of neutrons using Laplace and Fourier transforms. With the help of a convenient computational implementation we obtain graphs of the solutions of this equation. Some properties of the operators of fractional integration and differentiation are mentioned and used to demonstrate the fundamental theorem of fractional calculus. The classical Mittag-Leffler function with one parameter and the Mittag-Leffler function with two parameters play an important role in the study of fractional differential equations. The so-called Mittag-Leffler function with three parameters, which generalizes the previous two functions, naturally arises in the study of the fractional differential equation associated with the telegraph problem. By calculating the inverse Laplace transform without using contour integration we obtain new representations for the Mittag-Leffler functions in terms of improper integrals of trigonometric functions; as an application we obtain some interesting improper integrals which are usually proved by approximation using Fourier analysis or residue theoryDoutoradoMatematica AplicadaDoutora em Matemática Aplicada