Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)This paper provides a characterization of homogeneous curves on a geometric flag manifold which are geodesics with respect to each invariant metric. We call such curves homogeneous equigeodesics. We also characterize homogeneous equigeodesics whose associated Killing field is closed, hence, the corresponding geodesics are closed.371113125Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)FAPESP [07/06896-5]CNPq [300019/96-3]CNPq [140431/2009-8]